Будущий кинодеятель, совмещающий озвучивание картин с организацией их проката в России, родился 17 марта 1958 года в Москве. Родители Алексея часто ходили в кинотеатр "Родина" на Семеновской площади, и любовь к кино мальчик впитал с молоком матери. После школы Алексей поступил в Загорский кинотехникум на специальность "кинопрокатное и звукотехническое оборудование кинотеатров". Первая производственная практика Рязанцева проходила на съёмках картины Ильи Фрэза "Вам и не снилось…". Юный "микрофонщик" буквально ослеп от количества звёзд, игравших в фильме. Рядом с Алексеем находились Татьяна Пельтцер, Альберт Филозов и Лидия Федосеева-Шукшина. Параллельно с учёбой Алексей работал на Центральной киностудии имени Максима Горького, а с 1981 года возглавлял её Комитет Комсомола. С 1992 года Алексей Анатольевич занимается прокатом в России картин студии Warner Bros, основанной в 1903 году братьями Уорнерами, родители которых эмигрировали из Российской империи. Во второй половине 90-х годов XX века Алексей Анатольевич работал директором по кинопрокату компании "НТВ-Профит". Тогда же состоялось боевое крещение прокатчика в дубляже: один из артистов озвучивания не вышел на работу, и Рязанцев подарил голос безымянному полицейскому в ленте Люка Бессона "Пятый элемент". Среди самых известных работ Рязанцева в озвучке - Северус Снегг из эпопеи про Гарри Поттера и Арагорн из трилогии "Властелин колец". Голос Алексея Анатольевича звучал в русскоязычных версиях "Матрицы" и "Идеального шторма", "Темного рыцаря" и "Гнева Титанов"